ぷにぷにベクトル

ぷにぷにリファレンス

言い訳がましいのですが、このリファレンスを鵜呑みにしないようにお願いします。
あくまで、あくまでイメージをつかむ手助けになればと...

もし、以下の内容にて致命的な間違いを発見されましたら、お手数ですがぷにぷにBBSにてお知らせいただけたら幸いです。

英数

リファレンス

1次従属

定義

ベクトルの組 a1, a2, ... , ai に対し、

x1 a1 + x2 a2 + ... + xi ai = 0

が、いずれも 0 でないスカラー x1, x2, ... , xi により成り立つとき、 a1, a2, ... , ai1次従属であるという。

解りにくいので、具体的な表現にすると、

まず、いくつかのベクトルを用意します。 ここでは a, b, c を用意しました。

次に、その中からひとつのベクトルを選びます。 ここでは a を選びました。 このとき、

a = t b + s c

と表されるとき(t, s は任意のスカラー)、 a, b, c は1次従属であるといいます。

つまり、1次従属とはベクトルの組に対して使われる言葉で、 その中のあるベクトルが、 その他のベクトルの組み合わせで表せることをいうのです。 上の例では a を選びましたが、どのベクトルを選んでも結局同じことになります。

逆の意味で1次独立というものがあります。

1次独立

定義

ベクトルの組 a1, a2, ... , ai に対し、

x1 a1 + x2 a2 + ... + xi ai = 0

が、x1 = x2 = ... = xi = 0 のときのみ成り立つとき、 a1, a2, ... , ai1次独立であるという。

解りにくいので、具体的な表現にすると、

まず、いくつかのベクトルを用意します。 ここでは a, b, c を用意しました。

次に、その中からひとつのベクトルを選びます。 ここでは a を選びました。 このとき、

a = t b + s c

が、0 以外のどんな t, s に対しても成り立たないとき(t, s は任意のスカラー)、 a, b, c は1次独立であるといいます。

つまり、1次従属とはベクトルの組に対して使われる言葉で、 その中のあるベクトルが、 その他のベクトルの組み合わせで表せないことをいうのです。 上の例では a を選びましたが、どのベクトルを選んでも結局同じことになります。

逆の意味で1次従属というものがあります。

1次変換

行列によりベクトルを変換することで、線形変換ともいいます。 線形性が成り立ちます。

位置ベクトル

原点から空間中の点を指し示し、その位置を示すベクトルのことです。 点そのものとも、座標そのものとも言えると思います。 すべての図形はここから始まります。

関連ページ

  1. 位置ベクトル
  2. 位置ベクトルの和

外積

定義

二つのベクトル a, b に対し、外積 a×b は

a×b = a b sinθ

の大きさであり、a, b, a×b の順に右手系をなすベクトル量として定義されます。

ベクトル同士の演算であり、スカラーでいう積に相当します。 結合則は成り立つが交換則は成り立たないなど、スカラーの積とはなんか違います。 内積に比べ解りづらいと思います。 しかし物理的な意味を知るや、そのタツマキ具合に感動します。

関連ページ

  1. 図形的に見た外積

行列

複数のスカラーを縦横に並べたものです。

例えば 行列 A =
a11a12a13
a21a22a23
と書きます。

横向き(→)の並びを「行」といい、縦向き(↓)の並びを「列」といいます。 行数、列数により、この場合、 A は 2×3 型の行列であるといいます。

見た目も演算方法も複雑ですが、 行列を用いないと複雑な表現になる場合が増えてくるので、習得をお勧めします。

もっと詳しく

  1. 行列の和積演算
  2. ベクトルを用いた行列の表現

空間

数学では平面であれ4次元空間であれ空間と呼びます。

集合

ものの集まり。 ここでは主に「空間中の点の集合」のような使い方をする。 無限にあるものを扱えるようになる便利な考え。 「直線上にある点の集合」のような言い方もすると思う。 ある性質を満たすもの全部、みたいな感じで。 空間図形も図形というよりは、「領域」のような感じに思える。 なんとなくでいいので、納得できると便利。

スカラー

いわゆるふつうの実数。 大きさのみをもつ量である、というとベクトルとの違いが示せると思います。

ずらすベクトル

図形をずらすベクトルのこと。

ぷにぷにべくとるの独自表現なので外部での使用には注意が必要。

成分表示

座標ベクトルともいいます。 ベクトルスカラーの組み合わせで表現したもの。 この段階では、「座標そのまんま」と考えても問題ありません。

表現方法には縦ベクトル横ベクトルとがあります。

線形性

変換などで重要な性質のひとつ。 1次変換などに成り立つ。 関数 f(x) を例にすると、

1. f(x) + f(y) = f(x + y) : 変換してから足しても、足してから変換しても同じ。
2. c f(x) = f(c x) : 変換してからスカラー倍しても、スカラー倍してから変換しても同じ。

が成り立つとき f(x) が線形性を持つという。

成り立つ例として f(x) = ax 、成り立たない例として f(x) = x2 がある。 このことから「1次」という言葉が線形性を含んでいることがなんとなく理解できるかもしれない。

縦ベクトル

成分を縦に並べて表したベクトル。 初めは戸惑うかもしれませんが、 数式にて、成分ごとの演算をまとめて考えやすいなどのいい点があります。 横ベクトルに比べ、多く使われている気がします。

vx
vy
vz
= v

のように表します。

内積

定義

二つのベクトル a, b に対し、内積 a・b は

a・b = a b cosθ

で、定義されるスカラー量である。

ベクトル同士の演算で、スカラーでいう積に相当します。 交換法則や、結合則など、スカラーの積で成り立つ多くのことが成り立ちます。 外積に比べ解りやすいと思います。 ベクトルの成分から、それらのなす角が求められ、感動するほど便利です。

伸びるベクトル

パラメータ倍されたベクトルのこと。

ぷにぷにべくとるの独自表現なので外部での使用には注意が必要。

媒介変数

パラメータの項を参照。

パラメータ

媒介変数ともいいます。 普通の変数とそう変わりません。 いろいろな値をとる数という認識で問題ありません。

しかし、色々な値という表現のままでは今後の理解に限界があるので 「パラメータはとり得る値を全部まとめて表している」、といった感じでの理解をお勧めします。

ベクトル

大きさと方向をも持つ量。 一般に矢印で表されやすい。 実は複数のスカラーがまとまった数であり、それを表した形は成分表示と呼ばれる。

横ベクトル

成分を横に並べて表したベクトル。 座標のようで初めは理解しやすい、紙面の節約になるなど良い点も様々ありますが、 一般的には縦ベクトルの方が使われている気がします。

vxvyvz
= v

のように表します。

法線ベクトル

平面に垂直であるベクトル。 このベクトルが平面の向きを決めています。 とくに大きさが 1 であるものを単位法線ベクトルといいます。

方向ベクトルと違い、 図形の外に出ているのが納得しづらいかもしれません。

方向ベクトル

直線の向きであるベクトル。 このベクトルが直線の向きを決めています。

英数

x ベクトル

2次元空間での(x, y)、3次元空間の(x, y, z)と同じものである。 そう言われると、いかに今まで x, y というものをいい加減に扱ってきたかが自覚できる。 結局こいつらは何なのでしょうか。

なぜこんなベクトルがあるのか。 振り返れば、数年間理解できませんでした。

突き詰めていくと、集合にたどりつきました。 しかし、ここでは触れないでおきましょう。

ここ――ぷにぷにベクトルはなんとなく理解してもらうことを目的に作られた場所なので。